在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断三角形形状若a2tanB=b2tanA；由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角

Question

在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断三角形形状
若a2tanB=b2tanA；
由已知及正弦定理得
(2RsinA)2 = (2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
为什么,能帮我讲明白的我加分的,

Answer 1

由2cos(A + B)sin(A – B)=0
要使以上等式成立,只需左边任一因子=0即可 (而且,一定会有一个因子=0,否则等式不成立),
如果:cos(A + B)=0
则:A+B=90度,即:△ABC是直角三角形
如果:sin(A – B)=0,
则:A-B=0,即:A=B,△ABC是等腰三角形
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形
(1楼讲得不对,因为两个因子同时等于零,是没有必要的.他的结论是由两个因子同时等于零得出的,即:a^2-b^2=0,和c^2-(a^2+b^2)=0
我们可以反过来证明:
(1)如果,△ABC是等腰三角形,A=B,
则:a=b,tanA=tanB
(a^2)tanB=(b^2)tanA--------这就回到了本题给的条件,
说明：“△ABC是等腰三角形”是正确结论
(2)如果,△ABC是直角三角形,A+B=90度
则：a=c*sinA,b=c*sinB,tanB=1/tanA,sinA=cosB
所以:(a^2)tanB=(c^2)((sinA)^2)(1/tanA)
=(c^2)sinAsinB=(c^2)((sinB)^2)(sinA/sinB)
=((c*sinB)^2)(sinA/cosA)
=(b^2)tanA----------------这也回到了本题给的条件,
说明：“△ABC是直角三角形”是正确结论
至于1楼所说的：等腰直角三角形
它已经包含在”等腰三角形”中了,因为等腰直角三角形也属于等腰三角形；另一方面,它也已经包含在”直角三角形”中了,因为等腰直角三角形也属于直角三角形．