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在无穷数列{an}中,a1=1,对于任意n∈N*,都有an∈N*,an<an+1.设m∈N*,记使得an≤m成立的n的最大值为bm.(Ⅰ)设数列{an}为1,2,4,10,…,写出b1,b2,b3的值;(Ⅱ)若{an}是公差为2的等
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在无穷数列{an}中,a1=1,对于任意n∈N*,都有an∈N*,an<an+1.设m∈N*,记使得an≤m成立的n的最大值为bm.
(Ⅰ)设数列{an}为1,2,4,10,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}是公差为2的等差数列,数列{bm}的前m项的和为Sm,求使得Sm>2014成立的m的最小值;
(Ⅲ)设ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,请你直接写出B与A的关系式,不需写推理过程.
(Ⅰ)设数列{an}为1,2,4,10,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}是公差为2的等差数列,数列{bm}的前m项的和为Sm,求使得Sm>2014成立的m的最小值;
(Ⅲ)设ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,请你直接写出B与A的关系式,不需写推理过程.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分14分)
(Ⅰ)∵数列{an}为1,2,4,10,…,
使得an≤m成立的n的最大值为bm.
an≤1,则b1=1,an≤2,则b2=2,an≤3,则b3=2.…(3分)
(Ⅱ)∵{an}是公差为2的等差数列,a1=1,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,
由an=2n-1≤m,得n≤
.
根据bm的定义,当m=2k-1时,bm=k;当m=2k时,bm=k,k∈N*.
①若m=2k-1,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k-1
=2(1+2+3+…+k-1)+k=k2,
令k2>2014,由k∈N*,满足k2>2014的k的最小值为45,
则m的最小值为89.…(6分)
②若m=2k,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k
2(1+2+3+…+k)=k(k+1),
令k(k+1)>2014,
由k∈N*满足k(k+1)>2014的k的最小值为45,
则m的最小值为90,…(9分)
由①②知满足Sm>2014的m的最小值为89.…(10分)
(Ⅲ)∵ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,
∴B=p(q+1)-A.…(14分)
(Ⅰ)∵数列{an}为1,2,4,10,…,
使得an≤m成立的n的最大值为bm.
an≤1,则b1=1,an≤2,则b2=2,an≤3,则b3=2.…(3分)
(Ⅱ)∵{an}是公差为2的等差数列,a1=1,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,
由an=2n-1≤m,得n≤
m+1 |
2 |
根据bm的定义,当m=2k-1时,bm=k;当m=2k时,bm=k,k∈N*.
①若m=2k-1,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k-1
=2(1+2+3+…+k-1)+k=k2,
令k2>2014,由k∈N*,满足k2>2014的k的最小值为45,
则m的最小值为89.…(6分)
②若m=2k,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k
2(1+2+3+…+k)=k(k+1),
令k(k+1)>2014,
由k∈N*满足k(k+1)>2014的k的最小值为45,
则m的最小值为90,…(9分)
由①②知满足Sm>2014的m的最小值为89.…(10分)
(Ⅲ)∵ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,
∴B=p(q+1)-A.…(14分)
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