已知数列bn满足b1/3+b2/3^2+b3/3^3+.+bn/3n=2n（1）求数列bn的通项公式.（2）令cn=nbn/2,求数列cn的前n项和Tn.

Question

已知数列bn满足b1/3+b2/3^2+b3/3^3+.+bn/3n=2n
（1）求数列bn的通项公式 .（2）令cn=nbn/2,求数列cn的前n项和Tn.

Answer 1

(1)
b1/3^1+b2/3^2+b3/3^3+...+bn/3^n=2n (1)
n=1, b1=6
b1/3^1+b2/3^2+b3/3^3+...+b(n-1)/3^(n-1)=2(n-1) (2)
(1)-(2)
bn/3^n=2
bn =2.3^n
(2)
let
S=1.3^1+2.3^2+...+n.3^n (3)
3S= 1.3^2+2.3^3+...+n.3^(n+1) (4)
(4)-(3)
2S = n.3^(n+1) -(3+3^2+...+3^n)
= n.3^(n+1) -(3/2)[3^n-1]
S = 2n.3^(n+1) -3[3^n-1]
= 3+(6n-3).3^n
cn=nbn/2
= n.3^n
Tn=c1+c2+...+cn
=S
=3+(6n-3).3^n