已知A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．（1）如图，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA2的长；（2）如图

Question

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

Answer 1

（1）A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A₁A₃的解析式．求出直线B₂A₂与A₁A₃的交点坐标，进而求出A₂C的长．
（2）设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，可以采用与第一问相同的方法解决．
【解析】
（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=（1分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴
解得
∴直线A₁A₃的解析式为y=2x-，
∴CB₂=2×2-=（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=-2=．（3分）
方法二：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=（1分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）=（+）=（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=-2=．（3分）
（2）方法一：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A₁B₁=（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=n²-n+1，
A₃B₃=（n+1）²-（n+1）+1（4分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴（5分）
解得，（6分）
∴直线A₁A₃的解析式为y=（n-1）x-n²+．（7分）
∴CB₂=n（n-1）-n²+=n²-n+（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=n²-n+-n²+n-1=（9分）
方法二：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A₁B₁=（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=n²-n+1，
A₃B₃=（n+1）²-（n+1）+1（4分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）（6分）
=[（n-1）²-（n-1）+1+（n+1）²-（n+1）+1]（7分）
=n²-n+（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=n²-n+-（n²-n+1）=．（9分）
（3）当a＞0时，CA₂=a；
当a＜0时，CA₂=-a．（12分）