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证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc（a+b+c）．
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证明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc（a+b+c）．
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答案和解析
证明：∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2c2
∴2（a4+b4+c4）≥2（a2b2+b2c2+a2c2）
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2
又a2b2+b2c2≥2ab2c；b2c2+a2c2≥2abc2；a2b2+a2c2≥2a2bc
∴2（a2b2+b2c2+a2c2）≥2（a2bc+ab2c+abc2）
即a2b2+b2c2+a2c2≥abc（a+b+c）
∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc（a+b+c）．
∴2（a4+b4+c4）≥2（a2b2+b2c2+a2c2）
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2
又a2b2+b2c2≥2ab2c；b2c2+a2c2≥2abc2；a2b2+a2c2≥2a2bc
∴2（a2b2+b2c2+a2c2）≥2（a2bc+ab2c+abc2）
即a2b2+b2c2+a2c2≥abc（a+b+c）
∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc（a+b+c）．
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