已知a、b∈R.求证:(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2已知a、b∈R.求证:(a^4+b^4)(a^2+b^2)≥(a^3+b^3)^2a^2+b^2≥2(a-b-1),并指出等号成立的条件

Question

已知a、b∈R.求证:(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2
已知a、b∈R.求证:(a^4+b^4)(a^2+b^2)≥(a^3+b^3)^2
a^2+b^2≥2(a-b-1),并指出等号成立的条件

Answer 1

(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2
=a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6-a^6-2a^3b^3-b^6
=a^4b^2+a^2b^4-2a^3b^3
=a^2b^2(a^2-2ab+b^2)
=a^2b^2(a-b)^2
所以若a=0或b=0或a=b
所以a^2b^2(a-b)^2=0
则(a^4+b^4)(a^2+b^2)=(a^3+b^3)^2
若a≠0且b≠0且a≠b
则a^2b^2(a-b)^2>0
则(a^4+b^4)(a^2+b^2)>(a^3+b^3)^2
a2+b2-2（a-b-1）
=a^2+b^2-2a+2b+2
=(a-1)^2+(b+1)^2>=0
所以
a^2+b^2>=2(a-b-1)
a=1,b=-1时取等号