已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，正项等比数列{bn}满足：b1=a1-1，且b4=2b2+b3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足：cn=anbn，其前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n，正项等比数列{b_n}满足：b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足：c_n=(an)/(bn)，其前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=12+2×1=3，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时也适合上式，所以a_n=2n+1．
设{b_n}的公比为q，由题意得q>0，且b1=a1-1=2，b4=2b2+b3∴b2q2=2b2+b2q，
∴q²-q-2=0∴q=2或q=-1（舍去），
故数列{b_n}的通项公式为bn=2n．
（Ⅱ）cn=(an)/(bn)=(2n+1)/(2n)由错位相减法得Tn=5-(2n+5)/(2n)，∵(2n+5)/(2n)>0∴Tn<5，
又cn=(2n+1)/(2n)>0∴Tn≥T1=(3)/(2)，
∴(3)/(2)≤Tn<5．