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已知各项均不为零的数列{an},其前n项和Sn满足Sn=2-an;等差数列{bn}中b1=4,且b2-1是b1-1与b4-1的等比中项(Ⅰ)求an和bn,(Ⅱ)记cn=bnan,求{cn}的前n项和Tn.
题目详情
已知各项均不为零的数列{an},其前n项和Sn满足Sn=2-an;等差数列{bn}中b1=4,且b2-1是b1-1与b4-1的等比中项
(Ⅰ)求an和bn,
(Ⅱ)记cn=
,求{cn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)求an和bn,
(Ⅱ)记cn=
bn |
an |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)对于数列{an},由题意知Sn=2-an,①
当n≥2时,Sn-1=2-an-1,②
①-②得Sn-Sn-1=-an+an+1(n≥2),
即an=-an+an-1,
∴2an=an-1(n≥2),
∵an≠0,∴
=
,(n≥2)
∵a1=2-a1,∴a1=1,
∴{an}是以1为首项,
为公比的等比数列,
∴an=(
)n−1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵b1=4,且b2-1是b1-1与b4-1的等比中项,
b1=4,b2=4+d,b3=4+3d,
∴(3+d)2=3(3+d),
解得d=0,或d=3.
当d=0时,bn=4;当d=3时,bn=3n+1.
(Ⅱ)当bn=4时,cn=
=(3n1)•2n-1,
∴Tn=
=2n+2-4.
当bn=3n+1时,Cn=
=(3n+1)•2n,
Tn=4•20+7•2+10•22+…+(3n+1)•2n-1,③
2Tn=4•2+7•22+10•23+…+(3n+1)•2n,④
③-④得-Tn=4+3(2+22+…+2n-1)-(3n+1)•2n
=4+3•
-(3n+1)•2n
=4+2•2n-6-(3n+1)•2n
=(2-3n)•2n-2,
∴Tn=2+(3n-2)•2n.
综上:bn=4时,Tn =2n+2−4;
bn=3n+1时,Tn=2+(3n−2)•2n.
当n≥2时,Sn-1=2-an-1,②
①-②得Sn-Sn-1=-an+an+1(n≥2),
即an=-an+an-1,
∴2an=an-1(n≥2),
∵an≠0,∴
an |
an−1 |
1 |
2 |
∵a1=2-a1,∴a1=1,
∴{an}是以1为首项,
1 |
2 |
∴an=(
1 |
2 |
设等差数列{bn}的公差为d,
∵b1=4,且b2-1是b1-1与b4-1的等比中项,
b1=4,b2=4+d,b3=4+3d,
∴(3+d)2=3(3+d),
解得d=0,或d=3.
当d=0时,bn=4;当d=3时,bn=3n+1.
(Ⅱ)当bn=4时,cn=
bn |
an |
∴Tn=
4(1−2n) |
1−2 |
当bn=3n+1时,Cn=
bn |
an |
Tn=4•20+7•2+10•22+…+(3n+1)•2n-1,③
2Tn=4•2+7•22+10•23+…+(3n+1)•2n,④
③-④得-Tn=4+3(2+22+…+2n-1)-(3n+1)•2n
=4+3•
2(1−2n−1) |
1−2 |
=4+2•2n-6-(3n+1)•2n
=(2-3n)•2n-2,
∴Tn=2+(3n-2)•2n.
综上:bn=4时,Tn =2n+2−4;
bn=3n+1时,Tn=2+(3n−2)•2n.
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