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已知:a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d.
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已知:a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d.
▼优质解答
答案和解析
证明:由已知可得:a4+b4+c4+d4-4abcd=0,
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,
所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.
因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,
所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,
所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.
又因为a,b,c,d都为正数,
所以a+b≠0,c+d≠0,
所以a=b,c=d.
所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0,
所以a=c,
故a=b=c=d成立.
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,
所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.
因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,
所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,
所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.
又因为a,b,c,d都为正数,
所以a+b≠0,c+d≠0,
所以a=b,c=d.
所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0,
所以a=c,
故a=b=c=d成立.
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