（2014•呼伦贝尔二模）数列{an}的通项公式为an=2n-1，数列{bn}是等差数列且b1=a1，b4=a1+a2+a3．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Cn=1bnbn+1，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜12．

Question

（2014•呼伦贝尔二模）数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列且 b₁=a₁，b₄=a₁+a₂+a₃．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=(1)/(bnbn+1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜(1)/(2)．

Answer 1

（I）设数列{b_n}的公差为d，又an＝2n−1
∴b₁=a₁=1，b₄=1+3d=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7，
∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1------------（5分）
（II）c_n=(1)/(bnbn+1)=(1)/((2n−1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)），
∴T_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)）=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）=(n)/(2n+1)，
∵n∈N^*，∴T_n=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）＜(1)/(2)------------（12分）