已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36．（1）求an；（2）已知等比数列{bn}满足b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4（a≠-1），设数列{an•bn}的前n项和为Tn，求Tn．

Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）已知等比数列{b_n}满足b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴（a≠-1），设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
则数列{a_n}是等差数列．                 …（2分）
∴

a1+2d＝5

6a1+15d＝36.

⇒

a1＝1

d＝2.

因此，a_n=2n-1．                    …（5分）
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵q3＝(b4+b5)/(b1+b2)=(a3+a4)/(1+a)＝a3，
∴q=a．
由b₁+b₂=1+a，得b₁（1+a）=1+a．
∵a≠-1，
∴b₁=1．
则b_n=b₁q^n-1=a^n-1，a_nb_n=（2n-1）a^n-1．   …（7分）
T_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1…①
当a≠1时，aT_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ…②
由①-②得（1-a）T_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ
=(2(1−an))/(1−a)−1−(2n−1)an，
Tn＝(2(1−an))/((1−a)2)−(1+(2n−1)an)/(1−a)．       …（10分）
当a=1时，T_n=n²．                 …（12分）