已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}是公差为12的等差数列，且b4是b2与b6+1的等比中项，bn=Sn3n-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=（12）an，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，数列{b_n}是公差为(1)/(2)的等差数列，且b₄是b₂与b₆+1的等比中项，b_n=(Sn)/(3n-1)（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=（(1)/(2)）^a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵数列{b_n}是公差为(1)/(2)的等差数列，
∴b₂=b₁+(1)/(2)，b₄=b₁+(3)/(2)，b₆=b₁+(5)/(2)，
又∵b₄是b₂与b₆+1的等比中项，
∴b42=b₂（b₆+1），即(b1+(3)/(2))2=(b1+(1)/(2))(b1+(5)/(2)+1)，
解得：b₁=(1)/(2)，
∴b_n=(1)/(2)+(1)/(2)（n-1）=(n)/(2)，
∵b_n=(Sn)/(3n-1)（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(n)/(2)•（3n-1）-(n-1)/(2)•（3n-4）=3n-2，
又∵a₁=2b₁=1满足上式，
∴a_n=3n-2；
（2）由（1）可知c_n=（(1)/(2)）^a_n=(1)/(23n-2)=(4)/(8n)，
∴T_n=4•((1)/(2)(1-(1)/(8n)))/(1-(1)/(8))=(16)/(7)-(2)/(7)•(1)/(8n-1)．