已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=90，S15=240．（1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn（2）设{bn-（-1）nan}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₉=90，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n
（2）设{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₉=90，S₁₅=240．
∴9a1+(9×8)/(2)d=90，15a₁+(15×14)/(2)d=240，
联立解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=(n(2+2n))/(2)=n²+n．
（2）设等比数列{b_n-（-1）ⁿa_n}的公比为q，
b2-(-1)2a2=7-4=3，
b5-(-1)5a5=71+10=81，
∴81=3q³，解得q=3．
∴b_n-（-1）ⁿa_n=b_n-（-1）ⁿ•2n=3×3^n-2=3^n-1．
∴b_n=（-1）ⁿ•2n+3^n-1．
数列{3^n-1}的前n项和=(3n-1)/(3-1)=(1)/(2)（3ⁿ-1）．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k=2[（2-1）+（4-3）+…+（n-（n-1））]+3ⁿ-1=2k+3ⁿ-1=n+(1)/(2)（3ⁿ-1）．
数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k-1=-2+2[（2-3）+（4-5）+…+（n-1-n）]+(1)/(2)（3ⁿ-1）
=-2-2（k-1）+(1)/(2)（3ⁿ-1）
=(3n-(2n+3))/(2)．
∴T_n=

n+(1)/(2)(3n-1)，n=2k

(3n-(2n+3))/(2)，n=2k-1

，k∈N^*．