已知首项都是1的数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足bn+1=an+1bnan+3bn（Ⅰ）令Cn=anbn，求数列{cn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2•b6，求数列{an}的前n项和Sn．

Question

已知首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足b_n+1=(an+1bn)/(an+3bn)
（Ⅰ）令C_n=(an)/(bn)，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=4b₂•b₆，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得a_n+1b_n=a_n•b_n+1+3b_n•b_n+1，
两边同时除以b_nb_n+1，得(an+1)/(bn+1)＝(an)/(bn)+3，
又c_n=(an)/(bn)，∴c_n+1-c_n=3，
又c1＝(a1)/(b1)＝1，
∴数列{c_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公比为q，q＞0，
∵b32＝4b2•b6，
∴b12q4＝4b12•q6，
整理，得q2＝(1)/(4)，∴q=(1)/(2)，又b₁=1，
∴bn＝((1)/(2))n−1，n∈N^*，
a_n=c_nb_n=(3n−2)×((1)/(2))n−1，
∴S_n=1×((1)/(2))0+4×((1)/(2))+7×((1)/(2))2+…+(3n−2)×((1)/(2))n−1，①
∴(1)/(2)Sn=1×(1)/(2)+4×((1)/(2))2+7×((1)/(2))3+…+(3n−2)×((1)/(2))n，②
①-②，得：
(1)/(2)Sn＝1+3×(1)/(2)+3×((1)/(2))2+…+3×((1)/(2))n−1-（3n-2）×((1)/(2))n
=1+3[(1)/(2)+((1)/(2))2+…+((1)/(2))n−1]-（3n-2）×((1)/(2))n
=1+3[1−((1)/(2))n−1]−(3n−2)×((1)/(2))n
=4-（6+3n-2）×((1)/(2))n
=4-（3n+4）×（(1)/(2)）ⁿ，
∴S_n=8-（6n+8）×((1)/(2))n．