已知等差数列{an}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为Sn．（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；（Ⅱ）设bn=Snn，求b3+b7+b11+…+b4n-1的值．

Question

已知等差数列{a_n}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S_n．
（Ⅰ）设S_k=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设b_n=(Sn)/(n)，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，又a₁+a₃=2a₂，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．
由S_k=ka₁+(k(k−1))/(2)d，得（4分）
2k+(k(k−1))/(2)×2=2550
即k²+k-2550=0．解得k=50或k=-51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由S_n=na₁+(n(n−1)d)/(2)，得
S_n=2n+(n(n−1))/(2)×2=n²+n（8分）
∴b_n=(Sn)/(n)=n+1（9分）
∴{b_n}是等差数列．
则b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1）
=（3+7+11+…+4n-1）+n
=((3+4n−1)n)/(2)+n
=((4n+2)n)/(2)+n（11分）
∴b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=2n²+2n（12分）