已知C0：x2+y2=1和C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．

Question

已知C₀：x²+y²=1和C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1 （a＞b＞0）．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C₁上任意一点P，均存在以P为顶点，与C₀外切，与C₁内接的平行四边形？并证明你的结论．

Answer 1

设PQRS是与C₀外切，与C₁内接的平行四边形，则PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

设P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
则在直角△POQ中，

r

2 1

+

r

2 2

=

r

2 1

r

2 2

，即(1)/(r21)+(1)/(r22)＝1
∵(r21cos2θ)/(a2)+(r21sin2θ)/(b2)=1，即(1)/(r21)＝(cos2θ)/(a2)+(sin2θ)/(b2)
同理，(1)/(r22)＝(sin2θ)/(a2)+(cos2θ)/(b2)，相加可得(1)/(a2)+(1)/(b2)＝1
反之，若(1)/(a2)+(1)/(b2)＝1成立，则取P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
可得即(1)/(r21)＝(cos2θ)/(a2)+(sin2θ)/(b2)，(1)/(r22)＝(sin2θ)/(a2)+(cos2θ)/(b2)，
∴(1)/(r21)+(1)/(r22)＝(1)/(a2)+(1)/(b2)＝1
此时PQ与C₂相切，即存在满足条件的平行四边形．