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求证1+4C1n+7C2n+10C3n+...+(3n+1)Cnn=(3n+2)2^n-1不用导数,用二项式定理证明.
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求证1+4C1n+7C2n+10C3n+...+(3n+1)Cnn=(3n+2)2^n-1 不用导数,用二项式定理证明.
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答案和解析
1+4C1n+7C2n+10C3n+...+(3n+1)Cnn
=3(C1n+2C2n+3C3n+...+nCnn)+(1+C1n+C2n+1C3n+...+Cnn)
=3n[C0(n-1)+C1(n-1)+C2(n-1)+...+C(n-1)(n-1)]+2^n
=3n.3^n-1+2^n
=(3n+2)2^n-1
=3(C1n+2C2n+3C3n+...+nCnn)+(1+C1n+C2n+1C3n+...+Cnn)
=3n[C0(n-1)+C1(n-1)+C2(n-1)+...+C(n-1)(n-1)]+2^n
=3n.3^n-1+2^n
=(3n+2)2^n-1
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