设函数f(x)=x+1/x的图像为C1,C1关于点A(2,1)对称的图像为C2,C2对应的函数为g(x)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标

Question

设函数f(x)=x+1/x的图像为C1,C1关于点A(2,1)对称的图像为C2,C2对应的函数为g(x)
若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标

Answer 1

1、设点(x,y)在f(x)图像上,设点(x,y)关于点A(2,1)的对称点为(x',y'),则点(x',y')在g(x)图像上.
由中点公式：x+x'=4,y+y'=2；
所以：x=4-x',y=2-y'；
因为(x,y)在f(x)图像上,即y=x+1/x；
所以：2-y'=4-x'+1/(4-x')
整理得：y'=x'-2+1/(x'-4)
即g(x)=x-2+1/(x-4)
可转化为g(x)=x-4+1/(x-4)+2,
是由对勾函数y=x+1/x先向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到的.
y=x+1/x的对称中心为(0,0),所以g(x)的对称中心为(4,2)；
y=x+1/x的顶点分别是(-1,-2)和(1,2),所以g(x)的顶点分别是(3,0)和(5,4)；
要使y=m与g(x)的图像只有一个交点,
只能是y=m与g(x)交于顶点,所以m=0或m=4
交点坐标也就是g（x）的顶点坐标（3,0）和 （5,4)