在△ABC中,已知a2+b2-c2=1/2bc,(1)求sin2（A+B）/2+cos2B的值；（2）若b=2,求△ABC面积的最大值

Question

在△ABC中,已知a2+b2-c2=1/2bc,(1)求sin2（A+B）/2+cos2B的值；（2）若b=2,求△ABC面积的最大值

Answer 1

（1）因为a^2+c^2-b^2=1/2ac
根据余弦定理可得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4
因为sin^2(A+C)/2=sin^2(π/2-B/2)=cos^2(B/2)=(cosB+1)/2
cos2B=2cos^2B-1
所以sin^2(A+C)/2+cos2B=(cosB+1)/2+2cos^2B-1=-1/4
(2)因为cosB=1/4,即B的角度是一定的,b=2
则画一个△ABC的外接圆,点B在圆弧上运动
根据圆中同一条圆弧对应的角相等,结合图像可知,只有在AB=BC的时候,三角形ABC面积最大
即a=c,则a^2+c^2-b^2=1/2ac可化为a^2=3b^2/2=6
因为cosB=1/4,所以sinB=√15/4
所以S△ABC最大值=1/2*AB*BC*sinB=1/2*a^2*√15/4=3√15/4