（1）计算：C33+C43+C53+…+C103（2）证明：Ank+kAnk-1=An+1k．

Question

（1）计算：C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
（2）证明：A_n^k+kA_n^k-1=A_n+1^k．

Answer 1

（1）∵C_mⁿ+C_m-1ⁿ=C_mⁿ⁺¹，
∴原式=C₄⁴+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
=C₅⁴+C₅³+C₆³+…+C₁₀³
=C₆⁴+C₆³+C₇³+…+C₁₀³
=…
=C₁₀⁴+C₁₀³
=C₁₁⁴
=330
（2）证明：∵

A

n m

＝(n!)/((n−m)!)
∴左边=(n!)/((n−k)!)+k(n!)/((n−k+1)!)
=(n![(n−k+1)+k])/((n−k+1)!)
=((n+1)!)/((n−k+1)!)
=A_n+1^k=右边