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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,E,F分别在棱BB1,DD1上,且AF∥EC1.(1)求证:AE∥FC1;(2)若AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是边长为6的正方形,且BE=1,DF=2,求线段CC1的长,
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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,E,F分别在棱BB1,DD1上,且AF∥EC1.
(1)求证:AE∥FC1;
(2)若AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是边长为
的正方形,且BE=1,DF=2,求线段CC1的长,并证明:AC⊥EC1.
(1)求证:AE∥FC1;
(2)若AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是边长为
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,
∴AA1∥DD1,AB∥CD…(1分)
∵DD1、CD⊆平面CDD1C1,AA1、AB⊄平面平面CDD1C1,
∴AA1∥平面CDD1C1,AB∥平面CDD1C1,…(3分)
∵AA1、AB⊆平面AA1B1B,且AA1∩AB=A,
∴平面AA1B1B∥平面CDD1C1,…(4分)
∵AF∥EC1,∴A、E、C1、F四点共面.…(5分)
∵平面AEC1F∩平面AA1B1B=AE,平面AEC1F∩平面CDD1C1=FC1,
∴AE∥FC1;…(7分)
(2)设连接AC、BD,交于O点.连接AC1、EF,交于点O1,连接O1O
∵四边形ABCD,四边形AEC1F都是平行四边形,
∴O为AC、BD的中点,O1为AC1、EF的中点.…(8分)
∵BE∥DF,∴O1O=
C1C=
(BE+EF).
∵BE=1,DF=2,∴CC1=3…(10分)
∵AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是正方形,
∴△ACC1,△ABE,△ADF均为直角三角形,得
AC2=AC12-CC12=2AE2-CC12=12-9=3,AB2=AE2-BE2=6-1=5
BC2=AD2=AD2-DF2=6-4=2
∴AC2+BC2=5=AB2,可得AC⊥BC.…(12分)
∵BB1⊥平面ABCD,AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB1.
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线
∴AC⊥平面BB1C1C …(13分)
∵EC1⊆平面BB1C1C
∴AC⊥EC1 …(14分)
∴AA1∥DD1,AB∥CD…(1分)
∵DD1、CD⊆平面CDD1C1,AA1、AB⊄平面平面CDD1C1,
∴AA1∥平面CDD1C1,AB∥平面CDD1C1,…(3分)
∵AA1、AB⊆平面AA1B1B,且AA1∩AB=A,
∴平面AA1B1B∥平面CDD1C1,…(4分)
∵AF∥EC1,∴A、E、C1、F四点共面.…(5分)
∵平面AEC1F∩平面AA1B1B=AE,平面AEC1F∩平面CDD1C1=FC1,
∴AE∥FC1;…(7分)
(2)设连接AC、BD,交于O点.连接AC1、EF,交于点O1,连接O1O
∵四边形ABCD,四边形AEC1F都是平行四边形,
∴O为AC、BD的中点,O1为AC1、EF的中点.…(8分)
∵BE∥DF,∴O1O=
1 |
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∵BE=1,DF=2,∴CC1=3…(10分)
∵AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是正方形,
∴△ACC1,△ABE,△ADF均为直角三角形,得
AC2=AC12-CC12=2AE2-CC12=12-9=3,AB2=AE2-BE2=6-1=5
BC2=AD2=AD2-DF2=6-4=2
∴AC2+BC2=5=AB2,可得AC⊥BC.…(12分)
∵BB1⊥平面ABCD,AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB1.
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线
∴AC⊥平面BB1C1C …(13分)
∵EC1⊆平面BB1C1C
∴AC⊥EC1 …(14分)
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