如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面DD1E⊥平面CD1E；（Ⅱ）求直线BC与平面CD1E所成角的正弦值．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2，AB=4，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）求直线BC与平面CD₁E所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，AD=2，AB=4，
∴DE=CE=2√(2)，
∵CD=4，∴CE⊥DE，
∵D₁D⊥面ABCD，∴D₁D⊥CE，
∴CE⊥面D₁DE，
又CE⊂面CED₁，
∴平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）过B作BH⊥面CED₁，垂足为H，连接CH，
则∠BCH为直线BC与平面CD₁E所成角．
∵CE⊥面D₁DE，∴CE⊥D₁E，
在直角△D₁DE中，D₁E=2√(3)，
由V_B-CD1E=V_D1-BCE，
则(1)/(3)S_△CD1E•BH=(1)/(3)S_△BCE•D₁D，
即(1)/(2)×2√(2)×2√(3)•BH=(1)/(2)×4×2，解得BH=(√(6))/(3)，
故直线BC与平面CD₁E所成角的正弦值为((√(6))/(3))/(2)=(√(6))/(6)．