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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E为AB的中点.(Ⅰ)求证:平面DD1E⊥平面CD1E;(Ⅱ)求直线BC与平面CD1E所成角的正弦值.
题目详情
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面DD1E⊥平面CD1E;
(Ⅱ)求直线BC与平面CD1E所成角的正弦值.
(Ⅰ)求证:平面DD1E⊥平面CD1E;
(Ⅱ)求直线BC与平面CD1E所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD=2,AB=4,
∴DE=CE=2
,
∵CD=4,∴CE⊥DE,
∵D1D⊥面ABCD,∴D1D⊥CE,
∴CE⊥面D1DE,
又CE⊂面CED1,
∴平面DD1E⊥平面CD1E;
(Ⅱ)过B作BH⊥面CED1,垂足为H,连接CH,
则∠BCH为直线BC与平面CD1E所成角.
∵CE⊥面D1DE,∴CE⊥D1E,
在直角△D1DE中,D1E=2
,
由VB-CD1E=VD1-BCE,
则
S△CD1E•BH=
S△BCE•D1D,
即
×2
×2
•BH=
×4×2,解得BH=
,
故直线BC与平面CD1E所成角的正弦值为
=
.
∴DE=CE=2
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∵CD=4,∴CE⊥DE,
∵D1D⊥面ABCD,∴D1D⊥CE,
∴CE⊥面D1DE,
又CE⊂面CED1,
∴平面DD1E⊥平面CD1E;
(Ⅱ)过B作BH⊥面CED1,垂足为H,连接CH,
则∠BCH为直线BC与平面CD1E所成角.
∵CE⊥面D1DE,∴CE⊥D1E,
在直角△D1DE中,D1E=2
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由VB-CD1E=VD1-BCE,
则
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即
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故直线BC与平面CD1E所成角的正弦值为
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