如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为A1B1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：DF∥平面ACE．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：DF∥平面ACE．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥侧面ABB₁A₁，
∵AE⊂侧面ABB₁A₁，∴AE⊥BC．…（3分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=√(2)a，∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥EB．…（6分）
又BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE．      …（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、B₁D₁，连BD交AC于O，连OE，
∵E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，∴EF∥(1)/(2)B₁D₁，且EF=(1)/(2)B₁D₁，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DO∥(1)/(2)B₁D₁，且DO=(1)/(2)B₁D₁，
∴DO∥EF，且 DO=EF，∴四边形DOEF是平行四边形，…（10分）
∴DF∥OE．     …（11分）
又∵OE⊂平面ACE，DF不在平面ACE内，∴DF∥平面ACE．  …（13分）