定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=Ax0+By0+CA2+B2．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1-d2=0，则直线P1P2与直线l平行；②若d1+d2=0，则直

Question

定义点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的有向距离为d=(Ax0+By0+C)/(√(A2+B2))．已知点P₁，P₂到直线l的有向距离分别是d₁，d₂，给出以下命题：
①若d₁-d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行；
②若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行；
③若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l垂直；
④若d₁•d₂＜0，则直线P₁P₂与直线l相交；
其中正确命题的序号是______．

Answer 1

设点P₁，P₂的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），则d1＝(Ax1+By1+C)/(√(A2+B2))，d2＝(Ax2+By2+C)/(√(A2+B2))．
①若d₁-d₂=0，则若d₁=d₂，即(Ax1+By1+C)/(√(A2+B2))＝(Ax2+By2+C)/(√(A2+B2))，
∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0时，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴①错误．
②由①知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，
但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴②错误．
③由①知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，
但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴③错误．
④若d₁•d₂＜0，则(Ax1+By1+C)/(√(A2+B2))⋅(Ax2+By2+C)/(√(A2+B2))＜0，
即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴点P₁，P₂分别位于直线l的两侧，
∴直线P₁P₂与直线l相交，
∴④正确．
故答案为：④．