（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（2）用数学归纳法证明：2+5+8+…+（3n-1）=(3n+1)n2（n∈N*）．

Question

（1）证明：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
（2）用数学归纳法证明：2+5+8+…+（3n-1）=((3n+1)n)/(2)（n∈N^*）．

Answer 1

证明：（1）要证（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
只需证（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²≥0，
即（a²c²+a²d²+c²b²+b²d²）-（a²c²+2abcd+b²d²）≥0
只需证a²d²+c²b²-2abcd≥0
显然：a²d²+c²b²-2abcd=（ad-bc）²≥0
∴不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立．
（2）①当n=1时，左边=2，右边=2，故n=1时，结论成立．
②假设当n=k时，原式成立，
即2+5+8+…+（3k-1）=((3k+1)k)/(2)，
则当n=k+1时，
2+5+8+…+（3k-1）+（3k+2）
=((3k+1)k)/(2)+（3k+2）
=(3k2+7k+4)/(2)
=([3(k+1)+1](k+1))/(2)
故n=k+1时，原式也成立．
综上可知2+5+8+…+（3n-1）=((3n+1)n)/(2)（n∈N^*）成立．