椭圆中心为原点O,焦点在y轴上,e=根号6/3,过P（0,1）的直线l交椭圆于A、B且向量AP=2向量PB,求S△AOB的最大值及此时椭圆方程.

Question

椭圆中心为原点O,焦点在y轴上,e=根号6/3,过P（0,1）的直线l交椭圆于A、B
且向量AP=2向量PB,求S△AOB的最大值及此时椭圆方程.

Answer 1

设椭圆方程为x^2/m+y^2/n=1(n>m>0),①
e=√[(n-m)/n]=(√6)/3,
∴n=3m.
设l:y=kx+1,代入①,化简得
（3+k^2)x^2+2kx+1-3m=0,
△=4k^2-4(3+k^2)(1-3m)
=4[3m(3+k^2)-3].
|AB|={√[△(1+k^2)]}/(3+k^2),
点O到l的距离h=1/√(1+k^2),
∴S△ABC=(√△）/[2(3+k^2)].
设t=1/(3+k^2),则t∈(0,1/3],
S^2=3mt-3t^2=-3(t-m/2)^2+3m^2/4,
当m=2t=2/3时S^2取最大值1/3,
∴S的最大值是（√3）/3,这时椭圆方程是
x^2/(2/3)+y^2/2=1.