（2014•潍坊模拟）以椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，a2+b2为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足|PQ|=2，S△POQ=62S△OFQ．（Ⅰ）求

Question

（2014•潍坊模拟）以椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，√(a2+b2)为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足|PQ|=2，S_△POQ=(√(6))/(2)S_△OFQ．
（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当

OM

•

ON

=0时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（I）设椭圆的左焦点F（-c，0）（c＞0），
由S_△OPQ=(√(6))/(2)S_△OFQ得(1)/(2)ab＝(√(6))/(2)•(1)/(2)bc，化为a＝(√(6))/(2)c．
由|PQ|=2可得√(a2+b2)＝2，
联立√(a＝(√(6))/(2)c作业帮用户2017-09-20举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（I）设椭圆的左焦点F（-c，0）（c＞0），由S△OPQ=(√(6))/(2)S△OFQ利用三角形的面积公式可得(1)/(2)ab＝(√(6))/(2)•(1)/(2)bc，化为a＝(√(6))/(2)c．由|PQ|=2利用两点间的距离公式可得√(a2+b2)＝2，联立a＝(√(6))/(2)c√(a2+b2)＝2a2＝b2+c2，解得即可．（II）设直线ED的方程为y=kx+t，与椭圆的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系，由OM•ON＝0，利用数量积可得x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入即可得出k与t的关系式，验证是否满足△＞0成立．利用点到直线的距离公式可得点O到弦ED的距离d，再利用弦长公式|ED|=2√(r2−d2)即可得出．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．考点点评：本题综合考查了新定义、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识与基本技能，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)