已知椭圆X^\4+Y^\3=1,过点P（4,0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,A1为A关于X轴的对称点求证,直线A1B过X轴上一定点,并求定点坐标

Question

已知椭圆X^\4+Y^\3=1,过点P（4,0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,A1为A关于X轴的对称点
求证,直线A1B过X轴上一定点,并求定点坐标

Answer 1

设直线AB斜率为k,方程为 y=k(x-4)
3x^2+4y^2=12
3x^2+4k^2(x^2-8x+16)-12=0
(3+4k^2)x^2-32k^2x+(64k^2-12)=0
xA=(16k^2+6√(1-4k^2))/(3+4k^2) yA=(-12k+6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
xB=(16k^2-6√(1-4k^2))/(3+4k^2) yB=(-12k-6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
xA=xA1 yA1=-yA
xA1=(16k^2+6√(1-4k^2))/(3+4k^2) yA1=(12k-6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
kA1B=2k/√(1-4k^2))
直线A1B方程
y-yB=kA1B*(x-xB) 令y=0
x=xB-(yB/kA1B)=(4k^2+3)/(4k^2+3)=1
定点坐标(1,0)