有第一类间断点的函数可积分吗?同济第五版上册226页定理2:函数在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数在[a,b]上可积.可是汤加凤老师讲的有第一类间断点的函数一定没有原函数.哪个才是

Question

有第一类间断点的函数可积分吗?
同济第五版上册226页定理2:函数在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数在[a,b]上可积.可是汤加凤老师讲的有第一类间断点的函数一定没有原函数.哪个才是对的啊?

Answer 1

　　你这里的 “可积” 和 “有原函数” 是两个概念,并不矛盾.
　　这里的 “可积” 指的是 “Riemann可积”,即可求定积分,你提到的定理 2 给出了一个可积函数类.而 “f(x) 有原函数” 指的是 “存在函数 F(x),使 F‘(x) = f(x)”.可求定积分的函数未必有原函数,例如 Riemann 函数
　　　　R(x) = 1/q,x = p/q,p 与 q 是互质的整数,
　　　　　　= 0, x 为无理数,
在 [0, 1] 是可积的,但没有原函数.
　　你的 “有第一类间断点的函数一定没有原函数” 我没有找到反例,但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：
　　　　F(x) = (x^2)sin(1/x),x≠0,
　　　　　　= 0, x=0,
其导函数
　　　　F’(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x),x≠0,
　　　　　　 = 0, x=0,
在 x=0 有第二类间断点.