微积分入门的几个问题关于连续函数的1.函数的和差商积连续性定理：连续有限个连续函数四则运算后仍是连续函数.必须是有限个连续函数进行运算吗 如果是无限个是否还满足这个定理?2.所

Question

微积分入门的几个问题
关于连续函数的
1.函数的和差商积连续性定理：连续有限个连续函数四则运算后仍是连续函数.必须是有限个连续函数进行运算吗 如果是无限个是否还满足这个定理?
2.所有的初等函数都有定义区间吗?比如y=(1-x^2)^0.5+(x^2-1)^0.5 它的定义域不是一个点吗 这样的话 关于定理：所有的初等函数在其定义区间都是连续的 是不是缺少前提?

Answer 1

1.无限个不满足这个定理.但在一定条件下是可以的,以后你学幂级数等就会清楚了.你这个问得好.下面只考虑相加,无穷相加,其定义为 f1（x)+f2(x) + ...+fn(x) 当 n-->无穷大时的极限.
你说的结论一般不成立,反例如下：
a).可能函数值是不确定.例如；
f1(x) = x,f2(x) = -x,...,f(2n-1)(x) = x,f(2n)(x) = -x,...
如果是有限和 f1 +...+fn,奇数个的和为x,偶数个的为0.但无穷多个只能是没极限,不确定了.
b).可能为无穷大.
f1(x) = x,f2(x) = x,...,fn(x) = x,...
如果是有限和 f1 +...+fn,和为f(x)=nx,无穷多个的和为无穷大.
c).也可能无穷和存在,但是极限函数不连续.构造例子有点罗嗦.
2.函数连续意思指一个点靠近某个点,两点的函数值也会近.这是函数的一个性质,我们利用它来解决一些问题.如果定义域只有一个点,谈连续的意义不大.但我们给出一个一般性定义时,往往有些特别的意义不大的个别情形,这时,只能说是一种方便的规定了.定义域只有一个点,当我们考虑连续性的定义时,可以说它没定义,也可以规定它连续.但按书上的定义,它被规定为连续的.