如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段AF的长．

Question

如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段AF的长．

Answer 1

（1）∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH+∠EMQ=90°=∠PBA+∠BMH，
又∵∠QME=∠BMH，
∴∠FEH=∠PBA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵EH⊥AB，
∴∠EHA=90°=∠A=∠D，
∴四边形ADEH是矩形，
∴AD=EH，
又∵AB=AD，
∴AB=EH，
在△ABP与△HEF中

∠A=∠FHE

AB=HE

∠ABP=∠HEF

，
∴△ABP≌△HEF（ASA），
∴AP=FH；
（2）连结PF，
∵EF垂直平分BP，
∴PF=BF，
设AF=x，则PF=BF=12-x，
∴在△APF中，4²+x²=（12-x）²，
∴x=(16)/(3)，
∴AF=(16)/(3)．