怎么证明函数y=x^n的倒数是y'=nx^（n-1）?《n为整数》

Question

怎么证明函数y=x^n的倒数是y'=nx^（n-1）?《n为整数》

Answer 1

不应该用对数求导法啊,不然也要先证明对数的导数公式
证明这个基本公式,应该用二项式定理才是的,有定义出发：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h
二项式定理公式：(a+b)^n=Σ(r=0到r=n) C(r,n)*a^(n-r)*b^r=a^n+C(1,n)*a^(n-1)*b+...+b^n
而C(r,n)=n!/[r!(n-r)!],n!是n的阶乘,n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*2*1,这些都是基本知识
y=x^n
y'=lim(h->0) [(x+h)^n-x^n]/h
=lim {[x^n+C(1,n)*x^(n-1)*(h)+C(2,n)*x^(n-2)*(h)?+...+h^n]-x^n}/h,沿用二项式定理拆解
=lim [C(1,n)*x^(n-1)*(h)+C(2,n)*x^(n-2)*(h)?+...+h^n]/h,x^n互相抵消了
=lim C(1,n)*x^(n-1)+C(2,n)*x^(n-2)*(h)+...+h^(n-1)
=C(1,n)*x^(n-1),除了第一项没有h,其他都有,所以一起变为0了
根据公式C(r,n)=n!/[r!(n-r)!]
C(1,n)*x^(n-1)
=n!/[1!*(n-1)!]*x^(n-1)
=[n(n-1)!/(n-1)!]*x^(n-1),(n-1)!互相约掉
=n*x^(n-1)
用对数求导法：
y=x^n
lny=n*lnx
1/y*y'=n*1/x=n*x^(-1)
y'=n*x^(-1)*y
=n*x^(-1)*x^n
=n*x^(n-1)
其中(lnx)'=1/x这个公式你应该无学过,要给证明吗?