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如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=8,∠B=60°,过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F,设直线EF与BC的夹角为α(如图)(1)当α的度数是时,四边形AFCE为菱
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=8,∠B=60°,过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F,设直线EF与BC的夹角为α(如图)
(1)当α的度数是___时,四边形AFCE为菱形?
(2)当α的度数是___时,四边形AFCE为矩形?
(3)四边形AFCE能否为正方形?为什么?
(1)当α的度数是___时,四边形AFCE为菱形?
(2)当α的度数是___时,四边形AFCE为矩形?
(3)四边形AFCE能否为正方形?为什么?
▼优质解答
答案和解析
(1)当α的度数是60°时,四边形AFCE为菱形,
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠FAO=∠ECO,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF=CE,AF∥BC,
∴AF∥BE,
∵∠α=∠ABC=60°,
∴AB∥EF,
∴四边形AFEB是平行四边形,
∴AF=BE=CE,
∵BC=8,AB=4,
∴AB=BE=4,
∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=CE,
∵四边形AFCE是平行四边形,
∴四边形AFCE是菱形,
故答案为:60°;
(2)当α的度数是30°时,四边形AFCE为矩形,
理由如下:同(1)得:四边形AFCE是平行四边形,
取BC中点M,连接AM,∵AB=BM=4,∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠AMB=60°,AM=BM=AB=CM,
∴∠ACM=∠MAC=30°,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
∵OE=OF,OA=OC,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
故答案为30°.
(3)四边形AECF不可能是正方形.
理由如下:如图四边形AFCE是矩形,
∵AB=4,BC=8,∠B=60°,
∴在RT△ABF中,AF=AB•sin∠B=2
,BF=AB•cos60°=2,
∴CF=BC-BF=8-2=6,
∵AF≠FC,
∴四边形AFCE不是正方形.
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠FAO=∠ECO,
在△AOF和△COE中,
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∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF=CE,AF∥BC,
∴AF∥BE,
∵∠α=∠ABC=60°,
∴AB∥EF,
∴四边形AFEB是平行四边形,
∴AF=BE=CE,
∵BC=8,AB=4,
∴AB=BE=4,
∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=CE,
∵四边形AFCE是平行四边形,
∴四边形AFCE是菱形,
故答案为:60°;
(2)当α的度数是30°时,四边形AFCE为矩形,
理由如下:同(1)得:四边形AFCE是平行四边形,
取BC中点M,连接AM,∵AB=BM=4,∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠AMB=60°,AM=BM=AB=CM,
∴∠ACM=∠MAC=30°,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
∵OE=OF,OA=OC,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
故答案为30°.
(3)四边形AECF不可能是正方形.
理由如下:如图四边形AFCE是矩形,
∵AB=4,BC=8,∠B=60°,
∴在RT△ABF中,AF=AB•sin∠B=2
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∴CF=BC-BF=8-2=6,
∵AF≠FC,
∴四边形AFCE不是正方形.
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