如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．若AB=2，则CD的长为（）A．32B．2C．22D．23

Question

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．若AB=2，则CD的长为（　　）

A．(3)/(2)
B．2
C．2√(2)
D．2√(3)

Answer 1

设BE=x，则AE=AB-BE=2-x
过C作CE⊥AB，过A作AF⊥DC，
∴∠DFA=∠CEA=90°，
∵∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠DCA=360°-105°-105°-45°-45°=60°，
∴∠FCA=30°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠ACE=105°-45°=60°，
∴∠CAE=30°，
∴∠DAF=105°-30°-30°=60°，
∵AB=2，
∴CE=BE=x，
∴(x)/(2−x)＝(√(3))/(3)，
∴x=√(3)-1，
∴AC=2x=2√(3)-2，
∴AF=√(AC2−CF2)=3-√(3)，
∵∠D=∠DAF=45°，
∴AF=DF=3-√(3)，
∴DC=CF+DF=√(3)-1+3-√(3)=2，
故选B．