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四面体A-BCD的棱长均为a,E、F分别为棱AD、BC的中点,求异面直线AF与CE所成的角的余弦值.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/32fa828ba61ea8d3b1392286940a304e251f581c.jpg)
▼优质解答
答案和解析
由题意可得四面体A-BCD为正四面体,如图,连接BE,取BE的中点K,连接FK,则FK∥CE,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e06a49269c901087bf40ad1cb7e.jpg)
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角.
设这个正四面体的棱长为2,在△AKF中,AF=
=CE,KF=
CE=
,KE=
BE=
,
∴AK=
=
=
.
△AKF中,由余弦定理可得 cos∠AFK=
=
=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e06a49269c901087bf40ad1cb7e.jpg)
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角.
设这个正四面体的棱长为2,在△AKF中,AF=
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
∴AK=
AE2+KE2 |
12+(
|
| ||
2 |
△AKF中,由余弦定理可得 cos∠AFK=
AF2+FK2 −AK2 |
2AF•FK |
3+
| ||||||
2×
|
2 |
3 |
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