1·证明Q是不完备的有序集..2·证明至多可数多个可数集的并还是至多可数集..数分好头疼啊..

Question

1·证明Q是不完备的有序集..2·证明至多可数多个可数集的并还是至多可数集
..数分好头疼啊..

Answer 1

1、有序书上已有了,就是任意两个有理数可比较大小.只需证明不完备即可.
比如数列a(n+1)＝0.5(an+2/an),其中a1＝2,很显然an都是有理数,且an>=1.
但由a(n+1)－根号(2)＝(an－根号(2))^2/(2an)知道an收敛于根号(2),不收敛于
有理数.故有理集是不完备的.
2、Q1＝{a11,a12,a13,.}
Q2={a21,a22,a23,...},.,
Qn={an1,an2,an3,...},.都是至多可数集,
则它们的并还是至多可数的.可按如下方式排列并集中的元素,就是所谓的对角线法则：
a11,a21,a12,a31,a22,a13,a41,a32,a23,a14,...,
就是按照两个指标的和排列,若和相等,则先排列第一个指标比较小的.
这就是并集的一个排列,因此并集是至多可数的.