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(2012•大连二模)如图,在正方形ABCD中,点M在边AB上,点N在边AD的延长线上,且BM=DN.点E为MN的中点,DE的延长线与AC相交于点F.试猜想线段DF与线段AC的关系,并证你的猜想.
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(2012•大连二模)如图,在正方形ABCD中,点M在边AB上,点N在边AD的延长线上,且BM=DN.点E为MN的中点,DE的延长线与AC相交于点F.试猜想线段DF与线段AC的关系,并证你的猜想.
▼优质解答
答案和解析
猜想:线段DF垂直平分线段AC,且DF=
AC,
证明:过点M作MG∥AD,与DF的延长线相交于点G.
则∠EMG=∠N,∠BMG=∠BAD,
∵∠MEG=∠NED,ME=NE,
∴△MEG≌△NED,
∴MG=DN.
∵BM=DN,
∴MG=BM.
作GH⊥BC,垂足为H,连接AG、CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°,
∴四边形MBHG是矩形.
∵MG=MB,
∴四边形MBHG是正方形,
∴MG=GH=BH=MB,∠AMG=∠CHG=90°,
∴AM=CH,
∴△AMG≌△CHG.
∴GA=GC.
又∵DA=DC,
∴DG是线段AC的垂直平分线.
∵∠ADC=90°,DA=DC,
∴DF=
AC
即线段DF垂直平分线段AC,且DF=
AC.
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证明:过点M作MG∥AD,与DF的延长线相交于点G.
则∠EMG=∠N,∠BMG=∠BAD,
∵∠MEG=∠NED,ME=NE,
∴△MEG≌△NED,
∴MG=DN.
∵BM=DN,
∴MG=BM.
作GH⊥BC,垂足为H,连接AG、CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°,
∴四边形MBHG是矩形.
∵MG=MB,
∴四边形MBHG是正方形,
∴MG=GH=BH=MB,∠AMG=∠CHG=90°,
∴AM=CH,
∴△AMG≌△CHG.
∴GA=GC.
又∵DA=DC,
∴DG是线段AC的垂直平分线.
∵∠ADC=90°,DA=DC,
∴DF=
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即线段DF垂直平分线段AC,且DF=
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