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已知向量a=(2cosa,2sina)b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)已知向量a=(2cosa,2sina)b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)^2+(y+sinb)^2=1相切,则向量a,b的夹角为
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已知向量 a=(2cosa,2sina) b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)
已知向量 a=(2cosa,2sina) b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)^2+(y+sinb)^2=1相切,则向量a,b的夹角为
已知向量 a=(2cosa,2sina) b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)^2+(y+sinb)^2=1相切,则向量a,b的夹角为
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答案和解析
∵2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)^2+(y+sinb)^2=1相切,
∴点(cosb,-sinb)到2xcosa-2ysina+1=0的距离为1,
∴|2cosbcosa+2sinbsina+1|/√[(cosb)^2+(-sinb)^2]=1,
∴|2cos(a-b)+1|=1,∴2cos(a-b)=0,或2cos(a-b)=-2,
∴cos(a-b)=0,或cos(a-b)=-1..
显然有:
|向量a|=√[(2cosa)^2+(2sina)^2]=2√2,
|向量b|=√[(2cosb)^2+(2sinb)^2]=2√2,
向量a·向量b=4cosacosb+4sinasinb=4cos(a-b)=0,或向量a·向量b=-4.
令向量a、向量b的夹角为A,则:
cosA=向量a·向量b/(|向量a||向量b|)=0,或cosA=-4/(2√2)^2=-1/2.
∴A=90°,或A=120°.
∴向量a与向量b的夹角为90°或120°.
∴点(cosb,-sinb)到2xcosa-2ysina+1=0的距离为1,
∴|2cosbcosa+2sinbsina+1|/√[(cosb)^2+(-sinb)^2]=1,
∴|2cos(a-b)+1|=1,∴2cos(a-b)=0,或2cos(a-b)=-2,
∴cos(a-b)=0,或cos(a-b)=-1..
显然有:
|向量a|=√[(2cosa)^2+(2sina)^2]=2√2,
|向量b|=√[(2cosb)^2+(2sinb)^2]=2√2,
向量a·向量b=4cosacosb+4sinasinb=4cos(a-b)=0,或向量a·向量b=-4.
令向量a、向量b的夹角为A,则:
cosA=向量a·向量b/(|向量a||向量b|)=0,或cosA=-4/(2√2)^2=-1/2.
∴A=90°,或A=120°.
∴向量a与向量b的夹角为90°或120°.
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