如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1B．2-1C．3-1D．3+12

Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（　　）

A．1
B．√(2)-1
C．√(3)-1
D．(√(3)+1)/(2)

Answer 1

连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=(1)/(3)∠BCD=30°，
∴∠OCN=15°，
∵BC=AB=4，
∴CO=(1)/(2)AC=2√(2)，
∵sin∠OCN=sin15°=√((1−cos30°)/(2))=(√(2−√(3)))/(2)，
∴(ON)/(CO)=(√(2−√(3)))/(2)，
即ON=(√(2−√(3)))/(2)×2√(2)=√(4−2√(3))=√((√(3)−1)2)=√(3)-1，
故选：C．