已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=43，∠CAB=75°，求⊙O的半径．

Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=4√(3)，∠CAB=75°，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB，如图．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又点B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切线．

（2）作OE⊥AC于点E．
∵OE⊥AC，AC=4√(3)，
∴AE=(1)/(2)AC=2√(3)．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，OA＝(AE)/(cos30°)＝(2√(3))/((√(3))/(2))＝4
解法二：如图
延长AO与⊙O交于点F，连接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，AF＝(AC)/(cos30°)＝(4√(3))/((√(3))/(2))＝8．
∴AO=(1)/(2)AF=4．