已知过点A（-1，1）的直线与椭圆x28+y24=1交于点B、C，当直线l绕点A（-1，1）旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．

Question

已知过点A（-1，1）的直线与椭圆(x2)/(8)+(y2)/(4)=1交于点B、C，当直线l绕点A（-1，1）旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．

Answer 1

设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）、M（x，y），直线BC：y-1=k（x+1）
由于椭圆(x2)/(8)+(y2)/(4)=1可化为：x²+2y²=8．
则x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②°•
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得：(2(y1+y2))/(x1+x2)•(y1−y2)/(x1−x2)=-1
化简得：k=(y1−y2)/(x1−x2)=-(x)/(2y)，代入y-1=k（x+1），
整理得：x²+2y²+x-2y=0，
若BC的斜率不存在，易得中点为（-1，0）上式显然成立，
故即为BC的中点M的轨迹方程为x²+2y²+x-2y=0．