一道向量的题求解平面直角坐标系中,已知点A（3,0),点B（0,3）,点C（cosα,sinα）（1）若向量AC与向量BC的内积是-1,求sinα与cosα的内积（2）若|向量OA+向量OC|=根号下13且α属于（0,π）,求向量OB与

Question

一道向量的题求解
平面直角坐标系中,已知点A（3,0),点B（0,3）,点C（cosα,sinα）
（1）若向量AC与向量BC的内积是-1,求sinα与cosα的内积
（2）若|向量OA+向量OC|=根号下13且α属于（0,π）,求向量OB与向量OC的夹角

Answer 1

(1) 向量AC (cosα-3,sinα) 向量BC(cosα,sinα-3)
向量AC与向量BC=(cosα-3) ×cosα+(sinα-3)×sinα=1-3（cosα+sinα）=-1
cosα+sinα=3分之2
因为cosα的平方+sinα的平方=(cosα+sinα）的平方-2sinαcosα=1
解得sinαcosα=负18分之5
(2）向量OA+向量OC=(cosα+3,sinα)
|向量OA+向量OC|=根号(10+6cosα)=根号13
解得cosα=0.5
因为α属于（0,π）
sinα=2分之根号3
C（0.5,2分之根号3)
cos（向量OB与向量OC的夹角)=（3×2分之根号3+0）÷3=2分之根号3
因为向量与向量的夹角大于等于0小于等于180
所以cos（向量OB与向量OC的夹角)=30°