已知AB和CD是曲线C：x=4t2y=4t（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）试求直线AB的方

Question

已知AB和CD是曲线C：

x=4t2

y=4t

（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）试求直线AB的方程．

Answer 1

（1）曲线C：

x=4t2

y=4t

（t为参数）消去t可得y²=4x，轨迹是顶点在原点对称轴为x轴，焦点为（1，0）的抛物线．
（2）设直线AB和CD的倾斜角为α、β，
则直线AB和CD的参数方程分别为：

x=2+tcosα

y=2+tsinα

…①和

x=2+t′cosβ

y=2+t′sinβ

…②，
把①代入y²=4x中的：t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0，…③
依题意可知sinα≠0且方程③的△=16（sinα-cosα）²+16sin²α＞0
∴方程③有两个不相等的实数根t₁，t₂
则t₁•t₂=(-4)/(sin2α)…④，
由t的几何意义可知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，
|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=(4)/(sin2α)…⑤，
同理，|PC|•|PD|=(4)/(sin2β)…⑥，
由|PA|•|PB|=|PC|•|PD|．
可知：(4)/(sin2α)=(4)/(sin2β)即sin²α=sin²β，∵0≤α，β＜π．
∴α=π-β，∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90°
∴直线AB的倾斜角为(π)/(4)或(3π)/(4)．
∴k_AB=1或-1，故直线AB的方程为：y=x或x+y-4=0．