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如图,AB、CD是⊙O的弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM.求证:AB=CD.
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如图,AB、CD是⊙O的弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM.求证:AB=CD.
▼优质解答
答案和解析
证明:连接OM,ON,OA,OC,
∵M、N分别为AB、CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=
AB,CN=
CD,
∵∠AMN=∠CNM,
∴∠NMO=∠MNO,即OM=ON,
在Rt△AOM与Rt△CON中,
∵
,
∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),
∴AM=CN,
∴AB=CD.
∵M、N分别为AB、CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=
1 |
2 |
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∵∠AMN=∠CNM,
∴∠NMO=∠MNO,即OM=ON,
在Rt△AOM与Rt△CON中,
∵
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∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),
∴AM=CN,
∴AB=CD.
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