设二次型f（x1，x2，x3，x4）=ax32+2x42+2x1x2+2x3x4所对应的矩阵A有一个特征值是3，求：（1）a的值，并写出二次型的矩阵表达式；（2）用正交变换将二次型f=xTA2x化为标准形，并写出所用的正交变

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃，x₄）=ax₃²+2x₄²+2x₁x₂+2x₃x₄所对应的矩阵A有一个特征值是3，求：
（1）a的值，并写出二次型的矩阵表达式；
（2）用正交变换将二次型f=x^TA²x化为标准形，并写出所用的正交变换及所得到的标准形；
（3）判断二次型f=x^TA²x是否为正定二次型，并说明理由．

Answer 1

（1）二次型所对应的矩阵A=

0	1	0	0
1	0	0	0
0	0	a	1
0	0	1	2

，因为3是矩A的特征值，故

.

3E−A

.

＝8(3−a−1)＝0，解出 a=2．．
二次型的矩阵表达式为 f=X^TAX，其中  X=（X₁，X₂，X₃，X₄）^T．
（2）A=

0	1	0	0
1	0	0	0
0	0	2	1
0	0	1	2

，A²=√(1作业帮用户2016-11-17为您推荐：问题解析（1）根据二次型写出矩阵表达式，再根据特征值为3，求出a的值．（2）求出A2即可，然后求出特征值，特征向量，然后再正交化即可．（3）若二次型为正定二次型，则矩阵的所有特征值都大于零即可．名师点评本题考点：判断正定的充要条件；二次型的矩阵；用正交变换法化二次型为标准形．考点点评：本题主要考查二次型的矩阵，正定矩阵以及矩阵的正交化，这三个知识点几乎可以解决类似所有题型，本题属于基础题．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)