抛物线应用题已知：抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标分别为-1和3,与y轴交于点C的纵坐标为3,△ABC的外接圆的圆心为点M.(1)求这条抛物线的解析式;(2)求图象经过M,A两点的一次函

Question

抛物线应用题
已知：抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标分别为-1和3,与y轴交于点C的纵坐标为3,△ABC的外接圆的圆心为点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求图象经过M,A两点的一次函数解析式;
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使过P、M两点
的直线与△ABC的两边AB的交点E、F和点B
所组成的△BEF与△ABC相似?若存在,求出点P的坐
标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) 因为 △AOC∽△DOB
OA:OD=OC:OB,所以OD=1,D点的坐标为 (0,-1)
过M作垂线交AB于点H,由垂径定理得 OH=1
所以 M的横坐标为1
同理可知:M点的纵坐标为1
∴ M的坐标为 (1,1) …………………… 2分
设过A,M点的直线解析式为y=kx+b,有
k+b=1,-k+b=0
∴ k=1/2,b=1/2
直线解析式为:y=x/2+1/2 .2分
在(1)中的抛物线上存在点P
使△BEF与△ABC相似.……………………… 1分
① 若△BEF∽△ABC,则EF//AC
∵直线AC为:y=3x+3
∴设直线EF为:y=3x+b1过m(1,1)
∴直线为:y=3x-2
点P的坐标满足y=3x-2,y=-x^2+2x+3
解之x1=-1/2+√21/2,x2=-1/2-√21/2
y1=-7/2+3√21/2,y2=-7/2-3√21/2
所以 P1(-1/2+√21/2,-7/2+3√21/2),P2(-1/2-√21/2,-7/2-3√21/2).2分
② 若△BEF∽△ABC,则∠ACB∠MEH
过点A做AG⊥BC于G,有∠AGC∠MEH
∴△ACG∽△MEH
其中 AC=√10,CG=√2,AG=2√2,MH=1
∵AG:CG=MH:HE,即2√2 :√2=1:HE ∴ HE=1/2,E的坐标为(1/2,0)
直线EM解析式为:y=2x-1
同理可得:P3(2,3),P4(-2,-5) ………………………………………………… 2分
综上所述:P1(-1/2+√21/2,-7/2+3√21/2),P2(-1/2-√21/2,-7/2-3√21/2); P3(2,3),P4(-2,-5)