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,0),B(2,0),C(0,1),△ABC的外接圆圆心为M,⊙M交y轴的负半轴于D.①判断△ABC的形状,并说明理由.②点A是弧CD的中点吗?说明理由.③过y轴上一点N(0,m)作y轴的垂线l,当直
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①判断△ABC的形状,并说明理由.
②点A是弧CD的中点吗?说明理由.
③过y轴上一点N(0,m)作y轴的垂线l,当直线l与⊙M有公共点时,求m的取值范围.
④在y轴上是否存在点P,使得四边形APBC是梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
①△ABC为直角三角形,理由如下:
连接AC,BC,
,0),B(2,0),C(0,1),
∴OA=
,OB=2,OC=1,
∴AB=OA+OB=
,即AB2=
,
在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC2=AO2+OC2=
+1=
,
在Rt△BOC中,根据勾股定理得:BC2=BO2+OC2=4+1=5,
∴AC2+BC2=
+5=
=AB2,
∴△ABC为直角三角形;
②A是弧CD的中点,理由为:
∵直径BA⊥弦CD,
∴A为
的中点;
③如上图所示:
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时,圆心M到直线l的距离d=r,
∵AB=
,
∴AM=r=
,
∴d=
,即m=
;
当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时,圆心M到直线l的距离d=r,
∵AB=
,
∴AM=r=
,
∴d=
,即m=-
,
则当直线l与⊙M有公共点时,m的取值范围为-
≤m≤
;
④在y轴上存在点P,使得四边形APBC是梯形,
过点B作BP1∥AC,交y轴于点P1,
∴∠ACP1=∠BP1C,∠CAO=∠OBP1,
∴△AOC∽△BOP1,
∴
=
,即OP1=
=4,
∴P1坐标为(0,-4);
过点A作AP2∥BC,交y轴于点P2,
∴∠AP2O=∠BCO,∠OAP2=∠OBC,
∴△BOC∽△AOP2,
∴
=
,即OP2=
=
,
∴P2坐标为(0,-
).
则在y轴上存在点P(0,-4)或(0,-
),使得四边形APBC是梯形.
连接AC,BC,
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∴OA=
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∴AB=OA+OB=
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在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC2=AO2+OC2=
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在Rt△BOC中,根据勾股定理得:BC2=BO2+OC2=4+1=5,
∴AC2+BC2=
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∴△ABC为直角三角形;
②A是弧CD的中点,理由为:
∵直径BA⊥弦CD,
∴A为
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③如上图所示:
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时,圆心M到直线l的距离d=r,
∵AB=
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∴AM=r=
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∴d=
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当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时,圆心M到直线l的距离d=r,
∵AB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fd039245d688d43fb5f43e357e1ed21b0ff43b93.jpg)
∴AM=r=
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∴d=
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则当直线l与⊙M有公共点时,m的取值范围为-
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④在y轴上存在点P,使得四边形APBC是梯形,
过点B作BP1∥AC,交y轴于点P1,
∴∠ACP1=∠BP1C,∠CAO=∠OBP1,
∴△AOC∽△BOP1,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e06d8925d8201087bf40bd1cbc5.jpg)
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∴P1坐标为(0,-4);
过点A作AP2∥BC,交y轴于点P2,
∴∠AP2O=∠BCO,∠OAP2=∠OBC,
∴△BOC∽△AOP2,
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd8d2ac5bcd588d43f869427e6.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f79125a0db710e0cf3d6cad6b4.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0ff41bd5ad6eddc46bf01b3c3adbb6fd536633e5.jpg)
∴P2坐标为(0,-
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则在y轴上存在点P(0,-4)或(0,-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0ff41bd5ad6eddc46bf01b3c3adbb6fd536633e5.jpg)
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