，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负半轴于D．①判断△ABC的形状，并说明理由．②点A是弧CD的中点吗？说明理由．③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直

Question

，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负半轴于D．
①判断△ABC的形状，并说明理由．
②点A是弧CD的中点吗？说明理由．
③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直线l与⊙M有公共点时，求m的取值范围．
④在y轴上是否存在点P，使得四边形APBC是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

①△ABC为直角三角形，理由如下：
连接AC，BC，
，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA=，OB=2，OC=1，
∴AB=OA+OB=，即AB²=，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC²=AO²+OC²=+1=，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC²=BO²+OC²=4+1=5，
∴AC²+BC²=+5==AB²，
∴△ABC为直角三角形；

②A是弧CD的中点，理由为：
∵直径BA⊥弦CD，
∴A为的中点；

③如上图所示：
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=；
当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=-，
则当直线l与⊙M有公共点时，m的取值范围为-≤m≤；

④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形，
过点B作BP₁∥AC，交y轴于点P₁，
∴∠ACP₁=∠BP₁C，∠CAO=∠OBP₁，
∴△AOC∽△BOP₁，
∴=，即OP₁==4，
∴P₁坐标为（0，-4）；
过点A作AP₂∥BC，交y轴于点P₂，
∴∠AP₂O=∠BCO，∠OAP₂=∠OBC，
∴△BOC∽△AOP₂，
∴=，即OP₂==，
∴P₂坐标为（0，-）．
则在y轴上存在点P（0，-4）或（0，-），使得四边形APBC是梯形．