数列an中,an=a(n-1)-a(n-2)(n>=3),若S2000=2000,S2001=2001,S2003=?

Question

数列an中,an=a(n-1)-a(n-2)(n>=3),若S2000=2000,S2001=2001,S2003=?

Answer 1

∵数列{a[n]}中,a[n]=a[n-1]-a[n-2] (n>=3)
∴a[n-1]=a[n-2]-a[n-3]
将上面两式相加,得：
a[n]=-a[n-3]
∴a[n]=-a[n-3]=a[n-6]
这说明：a[n]是一个周期为6的周期数列
∵2000/6=333...2
∴a[2]=a[2000] 【1】
∵数列{a[n]}中,a[n]=a[n-1]-a[n-2] (n>=3)
∴a[n-1]=a[n-2]-a[n-3]
.
a[4]=a[3]-a[2]
a[3]=a[2]-a[1]
将上面格式叠加,得：
a[3]+a[4]+...+a[n-1]+a[n]=a[n-1]-a[1]
即：S[n]=a[2]+a[n-1] 【2】
∵S[2001]=2001
∴由【2】、【1】式知：
S[2001]=a[2]+a[2000]=2a[2]=2001
∴a[2]=2001/2
∵S[2000]=2000,S[2001]=2001
∴a[2001]=S[2001]-S[2000]=2001-2000=1
∵2001/6=333...3
∴a[3]=a[2001]=1
∴由【2】式知：S[3]=a[2]+a[2]=2001
∴a[1]=S[3]-a[3]-a[2]=2001-1-2001/2=1999/2
∴数列{a[n]}的循环节是：
1999/2,2001/2,1,-1999/2,-2001/2,-1
∵2002/6=333...4
∴a[2002]=a[4]=-1999/2
∴由【2】式知：S[2003]=a[2]+a[2002]=1
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也可以这样考虑：
∵a[n]是一个周期为6的周期数列
∴S[n]也是一个周期为6的周期数列
∵数列{a[n]}的循环节是：
1999/2,2001/2,1,-1999/2,-2001/2,-1
∴{S[n]}的循环节是：
1999/2,2000,2001,2003/2,1,0
∵2003/6=333...5
∴S[2003]=S[5]=1