设总体X的密度为φ（x）=(θ+1)xθ，0＜x＜10，其它．其中θ＞-1是未知参数，（X1，…，Xn）是来自总体X的一个样本，求：（1）参数θ的矩估计量θ1；（2）参数θ的极大似然估计量

Question

设总体X的密度为φ（x）=

(θ+1)xθ，0＜x＜1

0，                   其它

．其中θ＞-1是未知参数，（X₁，…，X_n）是来自总体X的一个样本，求：
（1）参数θ的矩估计量

θ1

；
（2）参数θ的极大似然估计量

θ2

．

Answer 1

（1）
EX=

∫

1 0

x(θ+1)xθdx=(θ+1)/(θ+2)xθ+2

|

1 0

=(θ+1)/(θ+2)，
令：EX=

.

x

，
即：(θ+1)/(θ+2)=

.

x

，
解得：

θ1

=(2.X−1)/(1−.X)，
故参数θ的矩估计量为：

θ1

=(2.X−1)/(1−.X)．

（2）
L（θ）=

n

π

i＝1

φ(xi，θ)，
则当：0＜x_i＜1（i=1，2，…，n）时，
L（θ）=（θ+1）ⁿ(

n

π

i＝1

xi)θ，
取对数可得：lnL（θ）=nln（θ+1）+θ

n

i＝1

lnxi，
两边对θ求导可得：(dlnL(θ))/(dθ)=(n)/(θ+1)+

n

i＝1

lnxi，
令：(dlnL(θ))/(dθ)=0，
解得：

θ2

=-1-(n)/(ni＝1lnXi)．