设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，试求p的矩估计和最大似然估计．

Question

设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）^k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X₁，X₂，…，X_n为取自总体X的样本，试求p的矩估计和最大似然估计．

Answer 1

EX＝

∞

k＝1

kP(X＝k)＝

∞

k＝1

k(1−p)k−1p．
为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数

∞

k＝1

xk＝(x)/(1−x)，x∈(−1，1)．
对该式两边运用逐项求导定理可得

∞

k＝1

kxk−1＝(1)/((1−x)2)，x∈(−1，1)．
由于1-p∈（-1，1），因此有

∞

k＝1

k(1−p)k−1p＝p

∞

k＝1

k(1−p)k−1＝p(1)/([1−(1−p)]2)＝(1)/(p)．
也即EX＝(1)/(p)，因此p＝(1)/(EX)．则p的矩估计量为：ρ=(1)/(.X)．
为求p的最大似然估计量，先设随机样本X₁，X₂，…，X_n的观测值分别为x₁，x₂，…，x_n，
则似然函数：L（ρ）=

n

π

k＝1

P(XK＝xk)＝(1−p)

n

k＝1

xk−nρⁿ．
为了便于求最大值，对似然函数求对数得：
lnL(p)＝[

n

k＝1

xk−n]ln(1−p)+nlnp．
对参数p求导得：
(d[lnL(p)])/(dp)＝([nk＝1xk−n])/(p−1)+(n)/(p)＝

作业帮用户 2016-11-19

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问题解析

先求出EX，然后反求，即可求出矩估计，通过对似然函数求对数再求导，令导数等于0，即可求出最大似然估计．

名师点评

本题考点：

最大似然估计法；构造估计量的矩估计法．

考点点评：

本题主要考查最大似然估计和矩估计量的基本计算方法，属于基础题．

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